clear all;
Manipulación básica de matrices
En este tutorial explicaremos algunos de los conceptos básicos para trabajar con matrices en MATLAB.
Activa "Output inline" en el lado derecho de tu barra de desplazamiento.
Crear una matriz
- Crea una estructura de matriz usando corchetes \(begin:math:display\) \(end:math:display\)
- Separa las columnas con un espacio o una coma ,
- Separa las filas con punto y coma ;
M =
syms m11 m12 m13 m21 m22 m23 m31 m32 m33 real M = [m11, m12, m13 ; %fila separada por punto y coma m21, m22, m23 ; %columna separada por coma m31 m32 m33] %columna separada por espacio
$$ \displaystyle \left(\begin{array}{ccc} m_{11} & m_{12} & m_{13} \newline m_{21} & m_{22} & m_{23} \newline m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{array}\right) $$
La función eye() te permite crear una matriz identidad:
IdentityMatrix = eye(3)
IdentityMatrix = 3x3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Para crear una matriz de ceros o unos puedes usar las funciones siguientes. Puedes definir las dimensiones como (fila,columna):
OneMatrix = ones(2,4)
OneMatrix = 2x4
1 1 1 1
1 1 1 1
ZeroMatrix = zeros(2,2)
ZeroMatrix = 2x2
0 0
0 0
Transponer una matriz
Transpón una matriz añadiéndole un apóstrofo '
M_transposed = M'
$$ \displaystyle \left(\begin{array}{ccc} m_{11} & m_{21} & m_{31} \newline m_{12} & m_{22} & m_{32} \newline m_{13} & m_{23} & m_{33} \end{array}\right) $$
Esto también puede usarse para transformar un vector fila en un vector columna. Puede hacerse con una variable o con el propio array.
syms v1 v2 v3 real
V_column = [v1, v2, v3]
$$ \displaystyle \left(\begin{array}{ccc} v_1 & v_2 & v_3 \end{array}\right) $$
V_row = [v1, v2, v3]'
$$ \displaystyle \left(\begin{array}{c} v_1 \newline v_2 \newline v_3 \end{array}\right) $$
V_row_2 = V_column'
$$ \displaystyle \left(\begin{array}{c} v_1 \newline v_2 \newline v_3 \end{array}\right) $$
Invertir una matriz
Para invertir una matriz tenemos varias opciones, como:
Sample_Matrix = [1, 2, 3;
4, 5, 6;
6, 2, 10]
Sample_Matrix = 3x3
1 2 3
4 5 6
6 2 10
Sample_Matrix_inv_1 = inv(Sample_Matrix)
Sample_Matrix_inv_1 = 3x3
-1.0556 0.3889 0.0833
0.1111 0.2222 -0.1667
0.6111 -0.2778 0.0833
Sample_Matrix_inv_2 = Sample_Matrix^-1
Sample_Matrix_inv_2 = 3x3
-1.0556 0.3889 0.0833
0.1111 0.2222 -0.1667
0.6111 -0.2778 0.0833
Sample_Matrix_inv_3 = eye(3)/Sample_Matrix
Sample_Matrix_inv_3 = 3x3
-1.0556 0.3889 0.0833
0.1111 0.2222 -0.1667
0.6111 -0.2778 0.0833
Invertir una matriz no cuadrada
Para invertir una matriz no cuadrada puedes usar la pseudoinversa:
$$ A^{\dagger} ={\left(A^T \cdot A\right)}^{-1} \cdot A^T $$
Sample_Matrix_non_square = Sample_Matrix(1:3,1:2)
Sample_Matrix_non_square = 3x2
1 2
4 5
6 2
Sample_Matrix_non_square_inverse_1 = inv(Sample_Matrix_non_square' * Sample_Matrix_non_square) * Sample_Matrix_non_square'
Sample_Matrix_non_square_inverse_1 = 2x3
-0.0590 -0.0641 0.2192
0.1214 0.2175 -0.1653
Sample_Matrix_non_square_inverse_2 = pinv(Sample_Matrix_non_square)
Sample_Matrix_non_square_inverse_2 = 2x3
-0.0590 -0.0641 0.2192
0.1214 0.2175 -0.1653
Acceder a elementos de una matriz
Para acceder a elementos concretos de una matriz puedes incluir (fila,columna) como una extensión de la variable:
M(1,1)
También puedes acceder a secciones de tu matriz si defines una región como (fila_inicial : fila_final, columna_inicial : columna_final)
M(1:2,1:2)
$$ \displaystyle \left(\begin{array}{cc} m_{11} & m_{12} \newline m_{21} & m_{22} \end{array}\right) $$
Con esta notación también podemos escribir en elementos concretos de la matriz y sobrescribirlos:
M(1:3, 3)=V_row
$$ \displaystyle \left(\begin{array}{ccc} m_{11} & m_{12} & v_1 \newline m_{21} & m_{22} & v_2 \newline m_{31} & m_{32} & v_3 \end{array}\right) $$
M(1:2,1:2)=eye(2)
$$ \displaystyle \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & v_1 \newline 0 & 1 & v_2 \newline m_{31} & m_{32} & v_3 \end{array}\right) $$
Combinar matrices
Para combinar dos matrices 2D en una sola matriz podemos usar la función cat(Dimensión, Matriz_1, ..., Matriz_n):
Matrix_1 = ones(3)
Matrix_1 = 3x3
1 1 1
1 1 1
1 1 1
Matrix_2 = ones(3) * 2
Matrix_2 = 3x3
2 2 2
2 2 2
2 2 2
Matrix_combined_1 = cat(1, Matrix_1, Matrix_2)
Matrix_combined_1 = 6x3
1 1 1
1 1 1
1 1 1
2 2 2
2 2 2
2 2 2
Matrix_combined_2 = cat(2, Matrix_1, Matrix_2)
Matrix_combined_2 = 3x6
1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2
Matrix_combined_3 = cat(3, Matrix_1, Matrix_2)
Matrix_combined_3 =
Matrix_combined_3(:,:,1) =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
Matrix_combined_3(:,:,2) =
2 2 2
2 2 2
2 2 2
Matrix_3 = ones(3) * 3;
Matrix_combined_4 = cat(3, Matrix_1, Matrix_2, Matrix_3)
Matrix_combined_4 =
Matrix_combined_4(:,:,1) =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
Matrix_combined_4(:,:,2) =
2 2 2
2 2 2
2 2 2
Matrix_combined_4(:,:,3) =
3 3 3
3 3 3
3 3 3
Operaciones matemáticas con matrices
Para sumar dos matrices del mismo tamaño:
Matrix_4 = [1, 2, 3;
1, 2, 3;
1, 2, 3]
Matrix_4 = 3x3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
Matrix_added = Matrix_1 + Matrix_4
Matrix_added = 3x3
2 3 4
2 3 4
2 3 4
Para restar matrices del mismo tamaño:
Matrix_subtracted = Matrix_4 - Matrix_1
Matrix_subtracted = 3x3
0 1 2
0 1 2
0 1 2
Para multiplicar dos matrices:
Matrix_multiply = Matrix_2 * Matrix_4
Matrix_multiply = 3x3
6 12 18
6 12 18
6 12 18
Para realizar operaciones elemento a elemento como
$$ \left\lbrack \begin{array}{cc} \textrm{m11} & \textrm{m12}\newline \textrm{m21} & \textrm{m22} \end{array}\right\rbrack =\left\lbrack \begin{array}{cc} \textrm{a11}\cdot \;\textrm{b11} & \textrm{a12}\cdot \textrm{b12}\newline \textrm{a21}\cdot \textrm{b21} & \textrm{a22}\cdot \textrm{b22} \end{array}\right\rbrack =\left\lbrack \begin{array}{cc} \textrm{a11} & \textrm{a12}\newline \textrm{a21} & \textrm{a22} \end{array}\right\rbrack \ldotp \times \left\lbrack \begin{array}{cc} \textrm{b11} & \textrm{b12}\newline \textrm{b21} & \textrm{b22} \end{array}\right\rbrack $$
podemos añadir un . delante del operador:
Matrix_element_multiply = Matrix_2 .* Matrix_4
Matrix_element_multiply = 3x3
2 4 6
2 4 6
2 4 6
Matrix_element_devision = Matrix_4 ./ Matrix_2
Matrix_element_devision = 3x3
0.5000 1.0000 1.5000
0.5000 1.0000 1.5000
0.5000 1.0000 1.5000
Matrix_element_squared = Matrix_4.^2
Matrix_element_squared = 3x3
1 4 9
1 4 9
1 4 9
Otras funciones útiles
Dimensiones
Para obtener las dimensiones de una matriz puedes usar la función size():
[rows, columns, dimensions] = size(Matrix_combined_4)
rows = 3
columns = 3
dimensions = 3
si solo te interesan algunas de las dimensiones:
[rows, ~, ~] = size(Matrix_4)
rows = 3
Suma de elementos de una matriz
Puedes sumar los elementos de las columnas de una matriz usando la función sum():
Matrix_column_sum = sum(Matrix_4)
Matrix_column_sum = 1x3
3 6 9
puedes sumar entre sí todos los elementos de una matriz proporcionando la opción de entrada "all":
Matrix_total_sum = sum(Matrix_4,"all")
Matrix_total_sum = 18
Máximo/Mínimo
Puedes extraer el valor máximo o mínimo de cada columna usando la función max() o min()
Max_column = max(Matrix_4)
Max_column = 1x3
1 2 3
Min_column = min(Matrix_4);
Para obtener el máximo o mínimo de toda la matriz puedes proporcionar la entrada opcional \(begin:math:display\)\(end:math:display\) y "all"
MaxAll = max(Matrix_4, [], "all")
MaxAll = 3
MinAll = min(Matrix_4, [], "all")
MinAll = 1
Rango
Usando la función rank() puedes extraer el rango de tu matriz, que se define como el número de columnas (o filas) linealmente independientes en esa matriz. El rango proporciona información sobre la dimensionalidad del espacio de columnas de la matriz.
Para una matriz identidad, el rango es igual a su número de filas/columnas. La matriz identidad es de "rango completo".
IdentityRank = rank(eye(4))
IdentityRank = 4
Sin embargo, para la Matriz 4, que contiene la misma fila varias veces, el rango es solo 1.
MatrixRank = rank(Matrix_4)
MatrixRank = 1